Lección 11 · Navier–Stokes y flujo alrededor de un cilindro

Nivel: avanzado · Tiempo: 3 h · Prerrequisitos: lección 10, convección y número de Reynolds.

Conexión con Stokes

La lección anterior construyó el espacio mixto, la restricción incompresible, las condiciones de velocidad y el tratamiento de presión. Aquí se conserva esa estructura y se añade el transporte de momento. Esta separación permite atribuir los fallos al término nuevo, no a cinco conceptos simultáneos.

Objetivos

Al terminar podrás:

reconocer qué vuelve no lineal el problema;
linealizar la convección mediante Picard/Oseen;
definir un criterio de parada relativo;
calcular caudal y arrastre como cantidades globales;
distinguir un ejemplo docente de una simulación de alto Reynolds.

Modelo y unidades

El canal mide 2.2×0.41, el obstáculo tiene radio 0.05, la velocidad pico de entrada es 0.3, \(\rho=1\) y \(\mu=0.01\), por lo que el Reynolds del ejercicio es bajo. Se prescribe entrada parabólica, no-slip en paredes y cilindro, y salida natural.

Forma fuerte

\[ \rho(u\cdot\nabla)u-\mu\Delta u+\nabla p=0, \qquad \nabla\cdot u=0. \]

Linealización de Picard

Dada una velocidad \(w=u^k\), se resuelve para \(u^{k+1},p^{k+1}\):

\[ \mu(\nabla u^{k+1},\nabla v) +\rho((w\cdot\nabla)u^{k+1},v) -(p^{k+1},\nabla\cdot v) +(\nabla\cdot u^{k+1},q)=0. \]

Después se actualiza \(w\) y se repite hasta que el cambio relativo de velocidad sea menor que la tolerancia.

Mapa matemático → software

Concepto	Objeto
velocidad convectiva \(w\)	`fem.Function` actualizada por iteración
término de Oseen	forma UFL no simétrica
iteración de Picard	ciclo Python con criterio relativo
fuerza sobre el cilindro	integral de tensión sobre `ds(cylinder)`
conservación	caudal global de entrada y salida

Ejemplo

python examples/11_cylinder_flow.py --quick --output results

Antes de resolver, inspecciona las etiquetas de entrada, salida, paredes y cilindro. Después conserva número de iteraciones, cambio relativo, caudales y arrastre; una línea de corriente visualmente suave no sustituye estas métricas.

Solver

El modo docente usa una factorización directa en cada paso de Picard. El operador es no simétrico por la convección. Una simulación grande requiere precondicionamiento por bloques y, para regímenes más exigentes, formulación transitoria o estabilizada que queda fuera del alcance de este ejemplo.

Verificación cuantitativa

Picard debe declarar convergencia.
El arrastre debe ser finito y no nulo.
El desbalance relativo de caudal debe ser menor de 4 % en modo --quick.
El modo completo debe repetir el estudio con malla más fina y una tolerancia de masa más exigente.

Errores frecuentes

iniciar Navier–Stokes antes de validar el caso Stokes y las fronteras;
intercambiar grad y nabla_grad sin revisar la convención;
medir convergencia con una norma local de un solo rango;
aceptar el máximo de iteraciones como convergencia;
interpretar este Reynolds bajo como validación de turbulencia.

Práctica

Ejecuta primero el canal de Stokes y registra su balance.
Cambia la velocidad de entrada y calcula el nuevo Reynolds.
Compara arrastre y número de iteraciones en dos mallas.
Explica qué prueba adicional necesitarías para un problema transitorio.

Fuentes y versión

Demos oficiales de DOLFINx 0.11.
Flujo alrededor de cilindro en el tutorial de Dokken, CC BY 4.0.

La implementación y sus comprobaciones son originales del curso y están en examples/11_cylinder_flow.py.

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