Lección 10 · Stokes y el primer problema mixto

Nivel: intermedio · Tiempo: 3 h · Prerrequisitos: lecciones 2–5 y mecánica de fluidos básica.

Por qué Stokes va antes de Navier–Stokes

Stokes introduce dos dificultades nuevas —velocidad/presión y restricción de incompresibilidad— sin añadir todavía convección no lineal. Cuando el canal analítico esté validado, la lección 11 conservará este sistema y añadirá un solo concepto: transporte de momento.

Objetivos

Al terminar podrás:

• construir un espacio Taylor–Hood velocidad–presión;
• explicar por qué la presión puede estar definida hasta una constante;
• imponer no-slip y un perfil de entrada;
• medir caudal, divergencia y error global;
• interpretar un sistema de punto silla.

Modelo y unidades

En un canal rectangular adimensional se usa \(u=(4y(1-y),0)\), \(p=4-8x\) y viscosidad \(\mu=1\). El perfil de Poiseuille y la presión lineal ofrecen una referencia analítica.

Forma fuerte

\[ -\mu\Delta u+\nabla p=0, \qquad \nabla\cdot u=0. \]

La velocidad se prescribe en entrada y paredes. La salida y el tratamiento de presión se documentan en el script; no se debe imponer simultáneamente una presión puntual y un nullspace sin justificación.

Forma débil

Encontrar \((u,p)\in V\times Q\) tal que, para todo \((v,q)\),

\[ \mu(\nabla u,\nabla v) -(p,\nabla\cdot v) +(\nabla\cdot u,q)=0. \]

La elección P2/P1 evita el par igual orden no estabilizado y satisface la compatibilidad inf-sup a nivel de este curso.

Mapa matemático → software

Concepto	Objeto
velocidad	elemento P2 vectorial
presión	elemento P1 escalar
espacio mixto	mixed_element([P2, P1])
sistema de punto silla	matriz y vectores por bloques
presión hasta constante	PETSc.NullSpace
caudal	integral global de \(u\cdot n\)

Ejemplo

python examples/10_stokes_channel.py --quick --output results

Antes del solve, comprueba fronteras, grados de libertad restringidos y espacio de presión. Después revisa el error de velocidad/presión, la divergencia y el caudal; no empieces por la visualización.

Solver

El ejemplo usa MINRES con fieldsplit, GAMG para velocidad, Jacobi para presión y nullspace constante. El prefijo PETSc debe ser único y toda razón de convergencia menor o igual a cero es un fallo.

Verificación cuantitativa

• el caudal analítico es \(2/3\);
• los errores de velocidad y presión deben quedar bajo las tolerancias de la metadata;
• la norma de divergencia debe ser pequeña;
• las métricas deben coincidir entre uno y dos rangos dentro de tolerancia.

Errores frecuentes

• usar P1/P1 sin estabilización;
• comparar presión sin eliminar su constante;
• olvidar la condición de compatibilidad del sistema;
• integrar caudal con el signo de normal equivocado;
• usar un valor local como si fuera la integral global.

Práctica

1. Cambia longitud y altura, y deriva el nuevo caudal.
2. Sustituye el nullspace por una presión de referencia y compara.
3. Ejecuta con uno y dos procesos y explica las diferencias de redondeo.
4. Identifica qué término faltaría para obtener Navier–Stokes.

Fuentes y versión

• Demo oficial de Stokes en DOLFINx 0.11.
• Demos oficiales de DOLFINx.

El caso incluye formulación, código y comprobaciones en examples/10_stokes_channel.py.

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