Lección 7 · Elasticidad lineal y posproceso
Nivel: intermedio · Tiempo: 4 h · Prerrequisitos: lecciones 2–5, tensores y mecánica de sólidos.
Qué cambia frente a Poisson
La incógnita ahora es vectorial y grad(u) es tensorial. El flujo escalar se
convierte en tracción y la energía interna usa tensión contra deformación. La
estructura malla → espacio → forma → BC → solve → verificación se conserva.
Objetivos
Resolverás un problema vectorial, diferenciarás tensión/deformación plana y calcularás reacción, energía, desplazamiento y von Mises con significado físico.
Modelo y unidades
Placa 1×0.2, (E=100), (\nu=0.3), empotrada a la izquierda y sometida a tracción uniforme 1 a la derecha. Se usa un sistema de unidades consistente y estado de tensión plana.
Forma fuerte y condiciones
Las caras superior/inferior tienen tracción natural cero.
Derivación débil
Para tensión plana se elimina la componente fuera del plano y se usa la constante de Lamé efectiva, no la de deformación plana.
Mapa matemático → software
| Concepto | Objeto |
|---|---|
| desplazamiento 2D | espacio P2 con shape=(2,) |
| deformación | sym(grad(u)) |
| Hooke | función UFL stress(u) |
| tracción | Constant + ds(marker) |
| reacción | integral global de dot(stress(u), n) |
Ejemplo e inspección
Ejecuta python examples/06_linear_elasticity.py --quick --output results. Revisa
etiquetas izquierda/derecha, vector de tracción, DOF restringidos y el signo de
la normal antes del solve.
Solver
LinearProblem usa LU portable, prefijo único y error de KSP. Para mallas grandes
se sustituye por CG/GAMG con near-nullspace de modos rígidos.
Verificación cuantitativa
La reacción horizontal debe ser opuesta a la carga total 0.2 con error relativo <1e-8. La energía de deformación y el desplazamiento medio de la punta deben ser positivos.
Visualización
Exporta desplazamiento y, para von Mises, interpola la expresión en DG0. Una escala deformada debe declarar su factor; no leas tensión nodal como continua.
Errores frecuentes
- Mezclar parámetros de tensión/deformación plana.
- Integrar reacción solo en un rango o con normal equivocada.
- Restringir una componente cuando se pretendía empotramiento.
- Usar máximo nodal de tensión sin estudio de malla.
Ejercicios graduados
- Compara tensión y deformación plana.
- Refina y estudia desplazamiento/reacción.
- Calcula von Mises y verifica trabajo externo (=2U) en el caso lineal.
Solución o guía
En carga proporcional lineal, (U=\frac12\int_{\Gamma_R}t\cdot u\,ds). La reacción puede cambiar muy poco aunque el máximo de tensión todavía no converja.
Fuentes, licencia, versión y cambios
La implementación del curso se contrasta con el
demo oficial de elasticidad DOLFINx 0.11.
El código, los parámetros y la comprobación de equilibrio están incluidos en
examples/06_linear_elasticity.py.
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