Lección 5 · Elementos, espacios y convergencia
Nivel: inicial · Tiempo: 3 h · Prerrequisitos: lecciones 3–4, álgebra lineal.
Conexión con las lecciones anteriores
La malla describe la geometría; el elemento decide qué información vive en cada celda; el espacio conecta ambos y numera grados de libertad. Esta lección cierra el núcleo común explicando por qué refinar o cambiar el grado altera el error.
Objetivos
Elegirás familias/grados, construirás espacios escalares, vectoriales, tensoriales y mixtos, y localizarás DOF de subespacios sin confundir colapso con una vista.
Modelo y unidades
Una malla triangular sostiene cinco representaciones: P1 escalar, P2 vectorial, DG0 tensorial y Taylor–Hood P2/P1. Solo se inspecciona discretización; no hay unidades físicas.
Forma fuerte y débil
No se prescribe PDE. La elección del espacio anticipa conformidad: Poisson usa (H^1), elasticidad un espacio vectorial (H^1)^2 y Stokes el producto (V\times Q) compatible con inf-sup.
Mapa concepto → software
| Concepto | Objeto |
|---|---|
| elemento escalar | basix.ufl.element |
| valor vectorial | shape=(gdim,) |
| discontinuo | ("Discontinuous Lagrange", 0) |
| producto | mixed_element([P2, P1]) |
| vista de componente | W.sub(i) |
| espacio independiente + mapa | W.sub(i).collapse() |
Ejemplo e inspección
Ejecuta python examples/04_function_spaces.py --quick --output results. El
número global de DOF es size_global*index_map_bs; el tamaño de x.array
incluye información local/fantasma y no es esa dimensión global.
Solver
No hay solver. En lecciones posteriores, el orden de bloques y los mapas de subespacio determinarán las condiciones esenciales y el precondicionador.
Verificación cuantitativa
El espacio P2 vectorial debe superar P1 escalar; el mixto debe superar el bloque de velocidad y el mapa de presión colapsada no puede ser vacío.
Visualización
Visualiza coordenadas de DOF para P1/P2 y centroides para DG0. No conectes puntos DG0 como si fueran nodos continuos.
Errores frecuentes
- Aplicar una BC del espacio colapsado sin el mapa al subespacio mixto.
- Confundir grado geométrico, grado del elemento y tasa observada.
- Proyectar siempre cuando una interpolación compatible es suficiente.
- Usar igual orden P1/P1 para Stokes sin estabilización.
Ejercicios graduados
- Cuenta DOF P1/P2 en tres mallas y explica su escalamiento.
- Crea un tensor simétrico DG0 y compara almacenamiento con tensor completo.
- Construye Taylor–Hood y localiza únicamente la componente x en una frontera.
Solución o guía
Usa pares (W.sub(0), V_colapsado) en locate_dofs_topological para BC mixtas.
No reconstruyas índices manualmente.
Fuentes, licencia y versión
Basix 0.11 y DOLFINx 0.11.0.post0. Código MIT, texto CC BY 4.0.
Anterior: mallas, etiquetas y fronteras · Siguiente: elige una ruta de especialización