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Lección 6 · Difusión transitoria

Nivel: intermedio · Tiempo: 4 h · Prerrequisitos: lecciones 2–5, derivadas temporales.

Qué cambia frente a Poisson

La rigidez espacial es conocida. La novedad es conservar un estado anterior, discretizar \(\partial_tu\) y verificar la evolución, no solamente el campo final. Este patrón reaparece en Navier–Stokes transitorio y multifísica.

Objetivos

Discretizarás el tiempo con Euler implícito, actualizarás Function/Constant, reutilizarás la estructura del problema y comprobarás solución y energía.

Modelo y unidades

Temperatura adimensional en el cuadrado unidad, difusividad 1, tiempo final 0.05. La condición inicial es (u_0=\sin(\pi x)\sin(\pi y)).

Forma fuerte y condiciones

\[ \partial_tu-\nabla^2u=0,\quad u|_{\partial\Omega}=0,\quad u(x,0)=u_0(x). \]

La solución exacta es (u=e^{-2\pi^2t}u_0).

Derivación débil temporal

Con Euler hacia atrás:

\[ \int_\Omega u^{n+1}v\,dx+\Delta t\int_\Omega\nabla u^{n+1}\cdot\nabla v\,dx =\int_\Omega u^nv\,dx. \]

Mapa matemático → software

Matemática Objeto
estado (u^n) fem.Function
paso (\Delta t) fem.Constant
matriz masa+rigidez forma bilineal
actualización copia de coeficientes + scatter_forward

Ejemplo e inspección

Ejecuta python examples/05_heat_diffusion.py --quick --output results. Inspecciona time_steps, final_time, error y energías. El script canónico es examples/05_heat_diffusion.py.

Solver

Cada paso exige razón KSP positiva. La forma mantiene el mismo dt; un flujo de producción podría ensamblar la matriz una vez y solo actualizar el lado derecho.

Verificación cuantitativa

Se exige error L2 final <0.03 y (E_{n+1}<E_n), con (E=\frac12\int u^2dx). El umbral incluye error espacial y temporal del modo quick; un estudio serio varía ambos por separado.

Visualización

XDMF recibe tiempo explícito. Para una serie completa usa VTX/XDMF y comprueba que nombres/tiempos sean monótonos; la animación no reemplaza el balance.

Errores frecuentes

  • Sobrescribir u_n antes de medir el paso.
  • Actualizar solo DOF propios y olvidar fantasmas.
  • Cambiar dt sin actualizar Constant o matriz.
  • Atribuir todo error a la malla sin refinar tiempo.

Ejercicios graduados

  1. Duplica pasos con malla fija y estima orden temporal.
  2. Cambia difusividad y corrige solución exacta.
  3. Implementa Crank–Nicolson y compara energía/error.

Solución o guía

Euler implícito es de orden 1 temporal; Crank–Nicolson, de orden 2 para solución suave. Construye tablas separadas de (h) y (\Delta t).

Fuentes, licencia y versión

DOLFINx 0.11.0.post0; explicación original con referencia al tutorial FEniCSx de Dokken (CC BY 4.0). Código del curso MIT, contenido CC BY 4.0.

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