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Lección 1 · Matemática mínima y forma débil

Nivel: inicial · Tiempo: 90 min · Prerrequisitos: lección 0, cálculo diferencial e integral.

Por qué esta lección va antes del código

FEniCSx no ofrece un menú para elegir “calor” o “elasticidad”. Tú declaras los campos y escribes la formulación variacional. Esta lección reúne únicamente la matemática que reaparece en las demás páginas; la lección 2 la convierte en un programa completo.

Objetivos

Al terminar podrás:

  • distinguir campos escalares, vectoriales y tensoriales;
  • interpretar grad, div, sym, inner, dx y ds;
  • derivar la forma débil de Poisson mediante integración por partes;
  • diferenciar condiciones esenciales y naturales;
  • identificar incógnita, función de ensayo y función de prueba.

Campos y operadores

Objeto físico Tipo Ejemplo UFL frecuente
temperatura o presión escalar \(T(x)\) T
desplazamiento o velocidad vector \(u(x)\) u
deformación o tensión tensor \(\varepsilon(u)\) sym(grad(u))
cambio espacial de un escalar vector \(\nabla T\) grad(T)
expansión de un vector escalar \(\nabla\cdot u\) div(u)
producto o contracción escalar \(A:B\) inner(A, B)

grad aumenta el orden del objeto: un escalar produce un vector y un vector produce un tensor. div contrae una dirección. En elasticidad se usa la parte simétrica del gradiente porque una rotación rígida no es deformación.

Dominio, frontera y medidas

Sea \(\Omega\) el dominio y \(\partial\Omega\) su frontera.

Medida Región de integración Uso típico
dx celdas de \(\Omega\) fuente, energía, masa
ds frontera exterior flujo, tracción, convección
ds(tag) parte etiquetada de la frontera condición natural localizada
dS facetas interiores métodos DG; no se usa en el primer solve

La malla aproxima la geometría y las medidas indican dónde se integra. Una etiqueta no impone por sí sola una condición: solamente identifica entidades.

De la forma fuerte a la débil

Considera Poisson:

\[ -\nabla^2 u=f\quad\text{en }\Omega, \qquad u=0\quad\text{en }\partial\Omega. \]

1. Elegir una función de prueba

Multiplicamos por una variación admisible \(v\). Como \(u\) está fijada en la frontera, \(v\) debe anularse allí.

2. Integrar en el dominio

\[ -\int_\Omega (\nabla^2 u)v\,dx=\int_\Omega fv\,dx. \]

3. Integrar por partes

La identidad de Green mueve una derivada de \(u\) hacia \(v\):

\[ \int_\Omega \nabla u\cdot\nabla v\,dx -\int_{\partial\Omega}(\nabla u\cdot n)v\,ds =\int_\Omega fv\,dx. \]

El término de frontera desaparece en la parte Dirichlet porque \(v=0\). Si se prescribe un flujo \(g=\nabla u\cdot n\) en otra parte, permanece en el lado derecho como una integral sobre ds.

4. Enunciar el problema variacional

Encontrar \(u\in V\) tal que, para todo \(v\in V_0\),

\[ a(u,v)=L(v),\qquad a(u,v)=\int_\Omega\nabla u\cdot\nabla v\,dx, \qquad L(v)=\int_\Omega fv\,dx. \]

Al restringir \(V\) a un espacio finito \(V_h\), la igualdad se convierte en el sistema algebraico \(A\mathbf{u}=\mathbf{b}\).

Ensayo, prueba y solución

Papel Símbolo Objeto
incógnita simbólica lineal \(u_h\) ufl.TrialFunction(V)
variación \(v_h\) ufl.TestFunction(V)
solución con coeficientes \(u_h\) después del solve fem.Function(V)
dato mutable \(f\), material o tiempo fem.Constant o fem.Function

La TrialFunction no contiene valores. Sirve para construir una forma lineal en la incógnita. La Function sí almacena los coeficientes de la solución.

Condiciones de frontera

Dirichlet o esencial

Prescribe el valor de la incógnita, por ejemplo \(u=g\). Se aplica a grados de libertad con dirichletbc; no se añade como una carga a L.

Neumann o natural

Prescribe un flujo o una tracción. Aparece en la integral de frontera obtenida por integración por partes. Neumann homogénea suele no requerir código extra.

Robin o mixta

Relaciona valor y flujo. Una condición \(\partial_n u+\alpha u=r\) añade un término con \(u\) a la forma bilineal y otro con \(r\) al lado derecho.

El mapa que usarás en la lección 2

# Esquema conceptual; la implementación completa está en la lección 2.
u = ufl.TrialFunction(V)
v = ufl.TestFunction(V)
a = ufl.inner(ufl.grad(u), ufl.grad(v)) * ufl.dx
L = f * v * ufl.dx

Lee cada línea de derecha a izquierda: región de integración, operación sobre campos y papel de cada función. Todavía faltan malla, espacio, frontera, solve y verificación; la siguiente página conecta las ocho piezas.

Comprobación antes de avanzar

  1. ¿Por qué el método no usa directamente \(\nabla^2u\) con elementos P1?
  2. ¿Dónde aparecería un flujo conocido?
  3. ¿Qué diferencia hay entre TrialFunction y Function?
  4. ¿Qué evidencia usarías para comprobar Poisson si conoces una solución exacta?

Respuestas breves: integración por partes reduce la regularidad; el flujo aparece en ds; ensayo es simbólico y solución almacena coeficientes; se puede medir el error y su tasa al refinar.

Fuentes y versión

El texto y los ejemplos conceptuales de esta página son originales de MC-Andes.

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