Lección 9 · Hiperelasticidad y solución no lineal

Nivel: avanzado · Tiempo: 5 h · Prerrequisitos: lección 7, cálculo tensorial.

Qué cambia frente a elasticidad lineal

La forma depende del estado actual. Ya no se ensambla una sola matriz: UFL deriva el residual y el Jacobiano, SNES itera y la carga se aplica por incrementos. La verificación debe incluir convergencia y orientación positiva.

Objetivos

Definirás energía, residuo/Jacobiano automático, SNES y carga incremental; diagnosticarás divergencia e inversión de elementos.

Modelo y unidades

Bloque 1×0.2 neo-Hookeano, (E=100), (\nu=0.3), empotrado a la izquierda y carga final 5 a la derecha, aplicada en 3/6 incrementos.

Forma fuerte y condiciones

En configuración de referencia, (\operatorname{Div}P=0), con desplazamiento cero a la izquierda y (PN=T) a la derecha. (F=I+\nabla u), (J=\det F>0).

Energía y forma débil

\[ \psi=\frac\mu2(I_C-2)-\mu\ln J+\frac\lambda2(\ln J)^2, \quad R(u;v)=D_u\left[\int\psi\,dX-\int T\cdot u\,dS\right]v=0. \]

El Jacobiano tangente es (D_uR(u;\delta u,v)) y UFL lo deriva.

Mapa matemático → software

Concepto	Objeto
estado no lineal	fem.Function
(F) diferenciable	ufl.variable(I + grad(u))
residuo	ufl.derivative(Pi, u, v)
Newton	fem.petsc.NonlinearProblem / SNES
carga incremental	Constant.value

Ejemplo e inspección

Ejecuta python examples/09_hyperelasticity.py --quick --output results. Revisa iteraciones por incremento, (J_{min}), energía, reacción y desplazamiento.

Solver

SNES Newton con backtracking, tolerancias explícitas, máximo 40 iteraciones y error ante divergencia. Cada incremento parte del estado convergido anterior.

Verificación cuantitativa

Se exige razón SNES positiva, (J_{min}>0.5), energía positiva, balance <2e-6 y desplazamiento de punta positivo. Ninguna figura sustituye (J_{min}).

Visualización

Exporta desplazamiento/J en campos separados y no extrapoles DG0 como si fuera continuo. Marca cualquier celda con (J\le0) como fallo, no como dato extremo.

Errores frecuentes

• Resolver carga completa desde estado cero.
• Usar ln(J) con (J\le0) y ocultar NaN.
• Derivar respecto de una expresión que no fue declarada variable.
• Medir solo residuo absoluto en variables mal escaladas.

Ejercicios graduados

1. Compara 1, 3 y 6 incrementos.
2. Aumenta (\nu\to0.499) y observa bloqueo.
3. Formula desplazamiento–presión mixto casi incompresible.

Solución o guía

Si Newton falla, reduce incremento, conserva el último estado convergido y activa monitor SNES. Para incompresibilidad usa formulación mixta; no “arregles” el bloqueo relajando una tolerancia.

Fuentes, licencia, versión y cambios

API NonlinearProblem 0.11. La implementación hiperelástica y sus verificaciones son originales del curso y están disponibles bajo MIT.

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